Calculus of a Single Variable, Chapter 6, 6.1, Section 6.1, Problem 19

Given,
y = C_1e^2x + C_2e^(-2x) + C_3sin(2x) + C_4cos(2x)
let us find
y'=(C_1e^2x + C_2e^(-2x) + C_3sin(2x) + C_4cos(2x))'
= 2 C_1e^2x +(-2) C_2e^(-2x) +2 C_3cos(2x) -2 C_4 sin(2x)
y''=(2 C_1e^2x +(-2) C_2e^(-2x) +2 C_3cos(2x) -2 C_4 sin(2x))'
=4 C_1e^2x +(4) C_2e^(-2x) -4 C_3sin(2x) -4 C_4 cos(2x)
y'''=(4 C_1e^2x +(4) C_2e^(-2x) -4 C_3sin(2x) -4 C_4 cos(2x))'
=8 C_1e^2x +(-8) C_2e^(-2x) -8 C_3cos(2x) +8 C_4 sin(2x)
y''''=(8 C_1e^2x +(-8) C_2e^(-2x) -8 C_3cos(2x) +8 C_4 sin(2x))'
=(16 C_1e^2x +(-8)(-2) C_2e^(-2x) -8(-2) C_3sin(2x) +8(2) C_4 cos(2x))
=(16C_1e^2x +16 C_2e^(-2x) +16 C_3sin(2x) + 16C_4cos(2x))
So lets check whether y'''' -16 y =0 or not
(16C_1e^2x +16 C_2e^(-2x) +16 C_3sin(2x) + 16C_4cos(2x))-16(C_1e^2x + C_2e^(-2x) + C_3sin(2x) + C_4cos(2x))
=(16C_1e^2x +16 C_2e^(-2x) +16 C_3sin(2x) + 16C_4cos(2x))-(16C_1e^2x +16 C_2e^(-2x) +16 C_3sin(2x) + 16C_4cos(2x))
=0
so,
y'''' -16 y =0